Aarhus Universitets segl
Du er her: AU  Matematiske Friser

Matematiske Friser

Se eller gense - Peter Jørgensen, professor ved institut for Matematik på Aarhus Universitet, fortælle om matematiske friser.

Mange matematikere nyder en særlig skønhed i matematik - de kan eksempelvis se bestemte formler eller beviser som smukke.  For mennesker, både med og uden særlig træning inden for matematik, kan det ofte være lettest tilgængeligt at se noget skønt ved matematik gennem geometriske former, symmetrier og spejlinger. Matematikeren Harold Coxeter var berømt for sine bidrag til geometrien og var bl.a. optaget af regulære polyedre ud fra deres appel til ens kunstneriske sans, men han indførte også en speciel type af matematiske objekter kendt som friser. Disse friser er talmønstre som opfylder visse ligningssystemer, og de har en række forbløffende egenskaber. 

For eksempel viser det sig at friser er periodiske, dvs. gentager sig selv efter endeligt mange skridt.  Det simpleste eksempel på en frise kan skrives som en følge, x0, x1, x2, …, af positive reelle tal med den rekursive definition xi = (xi-1 + 1)/xi-2.  Denne følge gentager sig selv efter fem trin, og det er ikke indlysende, at det forholder sig sådan!  Men prøv selv efter ved at vælge x0 og x1 og beregne x2, x3, … ved hjælp af rekursionen. Vælger man eksempelvis x0 = 2 og x1 = 3, får man sågar en følge af naturlige tal.  Det er da forunderligt!

I foredraget skal vi se definitionen af friser, lære om deres periodicitet og se nogle overraskende forbindelser til kombinatorik. Vi vil eksempelvis se at man ud fra en triangulering af en polygon kan konstruere en frise af naturlige tal, og det viser sig at samtlige friser af naturlige tal fremkommer på den måde. 
 

Se eller gense forelæsningen

Hele forelæsningen

Praktisk information

Afholdt d. 17. april 2023

Målgruppe: 

Foredraget henvender sig primært til elever og lærere i matematik og fysik og andre gymnasieklasser med interesse for matematiske formler og begreber.

Indholdsfortegnelse

00:00– Velkomst ved studerende Emma Bundgaard Graham
03:08 – Introduktion til Matematiske Friser ved Peter Jørgensen
08:01 – Frisernes oprindelse og definition af Coxeter
09:35 – Beskrivelse af Friser med lille højde (Højde = 1)
13:47 – Beskrivelse af Friser med mellem højde (Højde = 2)
20:36 – Coxeters sætning
24:26 – Conway-Coxeters sætning
36:58 – Den diskrete Schrödingerligning
42:40 – Friser som løsning til Den Diskrete Schrödingerligning
47:43 – Spørgsmål og svar

Anbefalet læsning:

følger snarest...

Teknisk information

Gode råd til at opnå et godt stream

  1. Hvis I har mulighed for at tilslutte jeres computer et internetkabel i stedet for trådløst internet (fx WiFi), så gør det. 
  2. Genstart jeres computer før streamingen og sørg for at den ikke er belastet af unødvendige programmer/processer som kører.
  3. Benyt en så kraftig computer som mulig og sørg for at dens programmer er opdateret
  4. Vi anbefaler at I som browser benytter Chrome eller Firefox.
  5. Hvis I i løbet af streamingen oplever at lyden løber foran (kommer før) billedet, (altså at "tale" og "mund" ikke er synkrone) så prøv at genindlæse websiden
  6. Problemer med synkronitet kan opstå hvis din computer har svært ved at følge med og er kommet lidt bagud mht. at danne billederne: derved kommer billederne mere og mere bagud i forhold til lyden fordi det at danne lyd ikke kræver så meget computerkraft som at danne billeder.
  7. Hvis I i løbet af streamingen hører lyden "dobbelt" (ekko) kan det skyldes at I har tændt for flere streams. Fx i hver sin fane/browser/vindue. Luk de overflødige.
  8. Hvis jeres kablede internetforbindelse svigter, kan I have held med at benytte mobilnettet med en almindelig smartphone med 4G (eller sågar 3G) som I sætter til at levere 'WiFi Hotspot' til jeres computer. 
  9. Hvis du er i tvivl om hastigheden/båndbredden/bitraten på jeres internetforbindelse, kan du måle den via en række tjenester på nettet – fx bredbånd.dk/hastighedstest (klik på 'Start test').
  10. Vi anbefaler at I har en internet-hastighed på 10 Mbit/s. Er jeres hastighed lavere, og oplever I problemer med streamet, så kan I med fordel på forhånd vælge en lavere kvalitet, fx '720p', se hvordan nedenfor ved de to streams.

Hvad kræver det teknisk for at livestreame?

Teknisk set kræver livestreamingen:

  • en internetforbindelse som er stabil.
    • test: hvis I kan vise livestream fra nettet – fx fra én af DR's liveudsendelser, fx TV AVISEN, fra dr.dk/tv/live – og det vises stabilt, så har I båndbredde og stabilitet og alt burde være ok.
    • hvis I ikke har installeret internet i det lokale som I skal benytte, kan I have held med at benytte en almindelig smartphone med 4G som så leverer WiFi til jeres computer. Alternativt kan I købe et 4g-USB-modem (et USB-stick med et SIM-kort; kan fås for ca. 500 kr.) og sætte et 4g-SIM-kort fra en mobiltelefon deri.
  • en computer med en internetbrowser (fx Firefox, eller Chrome).
  • højttalere – gerne gode og gerne stereo.
    • luksus: en endnu bedre oplevelse fås med højttalere i alle fire hjørner af lokalet ("2 x stereo") da det giver en endnu bedre oplevelse af "at være tilstede" midt iblandt publikum i Aarhus.
  • en projektor eller en stor fladskærm. Vi livestreamer i bredde-højdeforholdet 16:9 (som er det mest gængse format).
  • dæmp lyset så meget som muligt og mørklægn evt. vinduer.
  • generelt: jeres deltagere får den bedste oplevelse jo mere ”biograflignende” forhold I kan lave. Altså fx jo større skærm,  jo bedre lyd og jo mere I kan mørklægge, jo bedre oplevelse – mere intens og nærværende.

Stil spørgsmål under foredraget

Elever og lærere kan som nævnt stille spørgsmål til foredragsholderen via www.menti.com.

Fortæl gerne om den mulighed før foredraget og opfordr gerne tilhørerne til i deres sms’er/tweets at skrive deres navn og hvor de er sendt fra – altså fx at spørgsmålet slutter med '…Susanne Nielsen, fra Viborg Katedralskole'. 

Forelæser:

Peter Jørgensen

Professor Institut for Matematik
M
H 1530, 415
Revideret 26.06.2026
-
Gymnasiekoordinator